Hubungan tersembunyi dalam segitiga
Kaka dan Rara mengajakmu menghubungkan titik, garis, lingkaran, dan rasio. Diagram dapat diubah untuk mencari pola. Pengukuran numerik membantu eksplorasi; teori memberi pernyataan umum beserta syaratnya.
Garis Euler
Pada segitiga tidak sama sisi, pusat lingkaran luar O, titik berat G, dan ortosenter H segaris. G berada di antara O dan H.
OG : GH = 1 : 2
Contoh & pembahasan
Jika OG = 4, maka GH = 8 dan OH = 12. Pada segitiga sama sisi, O, G, H berimpit sehingga tidak menentukan satu garis Euler yang unik.Lingkaran sembilan titik
Lingkaran ini melalui titik tengah ketiga sisi, kaki ketiga tinggi, dan titik tengah ruas dari ketiga titik sudut ke H. Pusat N adalah titik tengah OH.
Radius sembilan titik = R/2
Contoh & pembahasan
Jika radius lingkaran luar R = 10, radius lingkaran sembilan titik adalah 5. Untuk segitiga tertentu, beberapa dari sembilan titik dapat berimpit.Garis Simson
Ambil P pada lingkaran luar segitiga. Proyeksi tegak lurus P ke tiga garis sisi atau perpanjangannya berada pada satu garis.
Syarat: P pada lingkaran luar
Contoh & pembahasan
Kaki tegak lurus tidak harus berada di dalam ruas sisi. Eksperimen menggeser P mendukung pengamatan, tetapi bukan pengganti bukti umum.Segitiga Napoleon
Bangun segitiga sama sisi ke luar pada setiap sisi segitiga ABC. Pusat ketiga segitiga sama sisi tersebut membentuk segitiga sama sisi baru.
Tiga sisi segitiga pusat sama panjang
Contoh & pembahasan
Jika satu sisi segitiga Napoleon = 7, kelilingnya = 21 dan tiap sudutnya 60°. Konstruksi ke luar dilakukan secara konsisten pada semua sisi.Teorema Ceva
D pada BC, E pada CA, dan F pada AB, semuanya di dalam sisi. AD, BE, dan CF bertemu di satu titik jika dan hanya jika hasil kali rasio berikut sama dengan 1.
(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB) = 1
Contoh & pembahasan
Jika BD/DC = 2 dan CE/EA = 3, maka AF/FB = 1/6. Rumus kuis memakai panjang positif dan titik pembagi di dalam sisi.Rasio emas
Rasio emas φ adalah akar positif persamaan φ² = φ + 1. Pada persegi panjang emas, rasio sisi panjang terhadap sisi pendek adalah φ.
φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618
Contoh & pembahasan
Jika sisi pendek = 2, sisi panjang = 2φ ≈ 3,236. Nilai 1,618 adalah pendekatan desimal, bukan nilai eksak.Kesebangunan
Bangun sebangun memiliki sudut bersesuaian sama dan panjang bersesuaian dengan faktor skala yang sama. Luas berubah sebagai kuadrat faktor panjang.
Panjang × k → luas × k²
Contoh & pembahasan
Segitiga luas 8 diperbesar dengan k = 3. Luas baru = 8 × 9 = 72. Keliling berubah dengan faktor 3, bukan 9.Pusat-pusat segitiga
G adalah pertemuan median; O pertemuan sumbu sisi; H pertemuan tinggi; I pertemuan pembagi sudut. Median menghubungkan titik sudut dengan titik tengah sisi di depannya.
Median: AG : GM = 2 : 1
Contoh & pembahasan
Jika median AM = 12, maka AG = 8 dan GM = 4. Incenter I berjarak sama ke ketiga garis sisi dan umumnya tidak berada pada garis Euler.