Empat kurva, satu keluarga
Irisan kerucut terbentuk saat sebuah bidang memotong permukaan kerucut. Lingkaran adalah kasus khusus elips. Untuk irisan yang tidak degenerat: bidang yang lebih landai dari sisi kerucut menghasilkan elips; sejajar sisi kerucut menghasilkan parabola; memotong kedua bagian kerucut menghasilkan hiperbola.
Definisi fokus–direktriks berlaku untuk elips nonlingkaran, parabola, dan hiperbola: jarak ke fokus = e × jarak ke direktriks. Lingkaran dapat dipahami sebagai kasus batas e = 0.
Lingkaran
Semua titik berjarak r dari pusat.
x² + y² = r²
Eksentrisitas e = 0.
Contoh soal & pembahasan
x² + y² = 49. Berapa radiusnya?
r² = 49 → r = 7. Diameter = 14.Elips
Jumlah jarak ke dua fokus selalu 2a. Untuk sumbu mayor horizontal, a > b > 0.
x²/a² + y²/b² = 1
c² = a² − b²
e = c/a, dengan 0 < e < 1; elips lingkaran memiliki e = 0.
Contoh soal & pembahasan
x²/25 + y²/9 = 1.
a = 5, b = 3, c = √(25 − 9) = 4. Fokus (−4,0) dan (4,0); e = 0,8. Jumlah jarak = 10.Parabola
Jarak titik ke fokus sama dengan jaraknya ke direktriks.
x² = 4py
Fokus (0,p), direktriks y = −p, p ≠ 0. Eksentrisitas e = 1.
Contoh soal & pembahasan
x² = 12y → 4p = 12 → p = 3.
Fokus (0,3), direktriks y = −3. Cahaya sejajar sumbu utama dipantulkan melalui fokus pada reflektor parabola ideal.Hiperbola
Nilai mutlak selisih jarak ke dua fokus selalu 2a.
x²/a² − y²/b² = 1
c² = a² + b²
e = c/a > 1. Memiliki dua cabang.
Contoh soal & pembahasan
x²/9 − y²/16 = 1.
a = 3, b = 4, c = 5. Fokus (±5,0), selisih jarak = 6. Asimtot y = ±(4/3)x. Strategi Kaka & Rara
Baca tanda dan penyebut persamaan terlebih dahulu. Bedakan a, b, c, dan p. Hitung sebelum memilih jawaban. Pada matching dan drag and drop, setiap pasangan dinilai sebagai bagian dari satu soal.