Jelajahi ide, pahami batas alatnya
Kaka dan Rara mengajakmu mengenali konstruksi geometri klasik, mekanisme, dan kurva tambahan. Eksak berarti benar secara matematis tanpa pembulatan. Numerik berarti memakai pendekatan angka. Metode dengan alat tambahan tidak sama dengan konstruksi penggaris tanpa skala dan jangka.
Konstruksi dasar
Penggaris tanpa skala membuat garis lurus; jangka membuat lingkaran dan memindahkan panjang. Segitiga sama sisi, sumbu ruas, dan pembagi sudut dapat dibuat secara eksak dengan kedua alat tersebut.
Setiap sudut segitiga sama sisi = 60°
Contoh & pembahasan
Contoh: dua lingkaran berjari-jari AB, berpusat A dan B, berpotongan di C. AC = BC = AB, sehingga ABC sama sisi.Sumbu ruas & pembagi sudut
Sumbu ruas adalah himpunan titik yang berjarak sama dari kedua ujung ruas. Pembagi sudut membagi sudut menjadi dua bagian sama besar.
Sumbu ruas ⟂ ruas; dua sudut = θ/2
Contoh & pembahasan
Contoh: sudut 84° dibagi dua menghasilkan 42°. Jika AB = 10, titik tengah M memberi AM = MB = 5.Rata-rata geometri
Dalam segitiga siku-siku, tinggi ke hipotenusa memisahkannya menjadi dua ruas u dan v. Panjang tinggi h memenuhi h² = uv.
h = √(uv)
Contoh & pembahasan
Contoh: u = 4 dan v = 9 → h = √36 = 6. Konstruksi setengah lingkaran memberi panjang tersebut secara eksak.Trammel & elips
Trammel menggunakan batang dengan dua titik yang meluncur pada dua sumbu tegak lurus. Titik tetap pada batang menelusuri elips. Mekanisme ini adalah alat tambahan.
x = a cos t; y = b sin t
Contoh & pembahasan
Contoh: a = 5, b = 3 → sumbu penuh elips 10 dan 6. Saat t = 0, titik berada pada (5,0).Menggandakan kubus
Untuk menggandakan volume, sisi baru harus dikalikan ∛2, bukan 2. Konstruksi klasik penggandaan kubus tidak dapat diselesaikan secara umum hanya dengan penggaris tanpa skala dan jangka.
s baru = s ∛2 ≈ 1,259921s
Contoh & pembahasan
Contoh: sisi 3 memberi volume 27. Volume ganda = 54, sisi baru ≈ 3,7798. Dua rata-rata proporsional memenuhi a:x = x:y = y:2a.Triseksi sudut & neusis
Triseksi membagi sudut menjadi tiga bagian sama besar. Triseksi sembarang sudut tidak mungkin dengan penggaris tanpa skala dan jangka saja; sudut tertentu tetap bisa. Neusis memakai penggaris bertanda dan syarat penempatan.
Sudut hasil = θ/3
Contoh & pembahasan
Contoh: 90° menjadi tiga bagian 30°, dapat dikonstruksi. Triseksi umum membutuhkan metode tambahan, misalnya neusis atau kurva khusus.Spiral & kuadratriks
Spiral Archimedes memiliki radius yang bertambah linear terhadap sudut. Kuadratriks menghubungkan gerak sudut dengan gerak lurus seragam; kedua kurva adalah perangkat tambahan di luar konstruksi klasik.
Spiral: r = kθ
Contoh & pembahasan
Contoh: k = 2, θ = 3 radian → r = 6. Jangan mencampur derajat dengan radian dalam rumus ini. Kuadratriks dapat membantu membagi sudut.Mengkuadratkan lingkaran
Persegi yang luasnya sama dengan lingkaran berjari-jari r harus memiliki sisi r√π. Konstruksi eksak tersebut mustahil dengan penggaris tanpa skala dan jangka saja. Nilai desimal adalah pendekatan.
L lingkaran = πr²; sisi persegi = r√π
Contoh & pembahasan
Contoh: r = 2 memberi luas 4π dan sisi ≈ 3,5449. Membulatkan hasil tidak mengubahnya menjadi konstruksi eksak.Poligon & batas π
Untuk poligon beraturan bersisi n: sudut pusat = 360°/n. Tidak semua poligon beraturan dapat dikonstruksi eksak dengan penggaris dan jangka. Segi tujuh beraturan memerlukan pendekatan atau alat tambahan.
Sudut dalam = (n − 2)180°/n
Contoh & pembahasan
Contoh: segi enam memiliki sudut pusat 60° dan sudut dalam 120°. Keliling poligon dalam < keliling lingkaran < keliling poligon luar; membaginya dengan diameter memberi batas π.Strategi menjawab
Perhatikan satuan sudut dan bedakan panjang, luas, serta volume. Tulis jawaban isian sebagai angka tanpa satuan. Pada drag and drop, kamu juga dapat klik label lalu klik tujuannya.